Elementos del álgebra lineal y matricial
Los elementos del álgebra lineal y matricial hacen parte de la adecuada creación y estructuración de cualquier videojuego.
facultad de videojuegos · diseño de videojuegos
vie. 14 de ene. 2022
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Las matemáticas es una disciplina que estudia conceptos de cantidad, espacio, estructura y cambio. Teniendo en cuenta esto, se utilizan conceptos tales como la lógica y las funciones matemáticas, que son las que relacionan cada uno de sus elementos con un resultado o elemento de salida. Las fórmulas matemáticas constituyen una información simbólica que determina una relación entre cantidades. Por esta razón los elementos básicos del álgebra lineal y matricial juegan un papel importante en el desarrollo y aplicación de esta ciencia.

Las matemáticas, se puede decir, que son la ciencia que más se relaciona con las demás áreas del saber, su versatilidad no tiene límites y su aplicación es inimaginable. Es una herramienta principal que provee con las bases suficientes para enfrentarse a aquellos retos dentro de la labor a desempeñar, específicamente, en las empresas, es fundamental el dominio de las matemáticas, ya que de ellas se pueden desprender innumerables métodos para resolución de problemas del trabajo diario, su pleno manejo es sinónimo de eficiencia y eficacia en el servicio que se preste.

La toma de decisiones, aunque es una función característica del administrador, el contador puede participar en esta tarea, puesto que él mejor que nadie conoce los pormenores de la situación financiera de la empresa. Las herramientas matemáticas son la base de esta función, porque por medio de gráficos, tablas, modelos matemáticos se pueden elaborar presupuestos, el control de costos en busca de la optimización de los recursos materiales, humanos, financieros, materia prima o sistemas, para que en conjunto de una buena organización se puedan cumplir más rápido y mejor las metas, obteniendo un crecimiento integral como empresa.

El espacio vectorial de IRn, funciones y variables

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de V elementos llamados vectores, donde se puede definir una suma interior y un producto por escalares. El producto de un escalar por un vector también es un elemento del espacio vectorial. En ocasiones es necesario recoger el comportamiento de ciertas variables, como precios de bienes y renta del consumidor, parámetros de un modelo lineal. Se trata pues, de manejar n-tuplas de datos que son elementos del conjunto IRn:

  • IRn = {(x1, x2,…,xn)/ x1, x2,…,xn ϵIR} Representación gráfica de conjuntos de R.

Para representar gráficamente los conjuntos de R, se tiene que saber que los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, conocidas con el nombre de Diagramas de Venn, y para poder interpretarlos correctamente hay que observar lo siguiente:

  • Elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la curva.
  • Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la curva.
  • Ningún punto se representa sobre la curva.
  • El conjunto referencial R se representan por un rectángulo para diferenciarlos de los otros diagramas. De esta manera, si R = (1,2,3,4,5,6,7,8) y A= (4,5,6). Se observa que:
  • 5∉A y 5∉ R 7∉A y 7∉ R 1∉ A y 1∉ R

Es decir, todo elemento de A está en R, pero no todo elemento de R está en A. El signo ∈ significa “pertenece a” El signo ∉ significa “no pertenece a”.

Conceptos básicos de funciones reales de varias variables: operaciones con funciones

A continuación se definen las características de una función:

  • Dominio y recorrido: dada una función f: R→ R, tal que y= f(x). El dominio de la función es el conjunto D C R de los valores para los que está definida la función. Se representa por Dom f.
  • Continuidad: de forma intuitiva, una función continua en todo su dominio sería aquella que se puede dibujar de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel.
  • Monotonía: crecimiento y decrecimiento, extremos relativos: – Se considera que f(x) es estrictamente creciente en a, si en un entorno de a se cumple que: » x>a→ f(x) > f(a) » x<a→ f(x) < f(a) – Se considera que f(x) es estrictamente decreciente en a, si en un entorno de a se cumple que: » x>a → f(x) <f(a) » x>a → f(x) <f(a).
  • Curvatura: concavidad, convexidad y punto de inflexión: se afirma que una función es cóncava o que presenta su concavidad hacia abajo, cuando dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda por debajo de la curva.
  • Simetría: una función presenta simetría par si para valores de x positivos o negativos, pero de igual valor absoluto, la función toma el mismo valor, es decir, se verifica que f(x) = f(-x).
  • Periodicidad: se considera que una función es periódica cuando la gráfica de la misma se repite de manera idéntica cada vez que la variable independiente x recorre cierto intervalo.
  • Tendencias, asíntotas: en el estudio de funciones se denomina asíntota a una línea hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita.

Elementos del álgebra lineal, matricial y clases de funciones

La función inversa de una función f, es otra función f1, tal que para cualquier valor x de su dominio se cumple que: si f(x) = b, entonces f-1 (b) = x. Por tanto, si f1 es la función inversa de f, se cumple que f1 o f = f o f1 = Id. A Id se nombra función identidad, y se define como Id(x) = x. Es importante conocer que, las gráficas de una función y de su inversa, son simétricas respecto a la recta y= x. Dentro de las funciones elementales se encuentran los siguientes tipos de funciones:

  • Funciones lineales: cuya ecuación general es y= mx, en la que m=pendiente de la recta. Su representación gráfica es recta y la función pasa siempre por el origen de coordinadas (0,0).
  • Funciones afines: cuya ecuación general es y=mx + n, en la que m=pendiente de la recta. Su representación gráfica es una recta y la función pasa siempre por el punto.
  • Funciones cuadráticas: cuya ecuación general es y= ax2 +bx+c, en la que a siempre es distinto valor de 0, dado que si no no sería una función lineal.
  • Funciones de proporcionalidad inversa. Su ecuación general es y= k/x, en la que k es un número real y siempre distinto de cero.
  • Funciones exponenciales. Su ecuación general es y=ax. En caso de que a<1, son continuas y crecientes en todo el dominio, y no tiene ni máximos ni mínimos.
  • Funciones logarítmicas. Su ecuación general es y=logax. En caso de que a>1 son continuas y crecientes en todo su dominio, sin máximos ni mínimos.
  • Funciones con radicales. Su ecuación general es y=n»√xm. En este caso, se tiene que cumplir que m,n sean números naturales y que n sea superior o igual a 2.

Teorema de Weirtrass

Según el Teorema de Weierstrass, si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f(X) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Por hipótesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f está acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m <= f(x) <= n para todo x perteneciente a [a,b]. La demostración se realiza por reducción al absurdo.

Primero se demostrará que f tiene máximo absoluto en [a,b]. Si se quiere probar que existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1) = n. Supóngase lo contrario de lo que se quiere demostrar, o sea que para todo x perteneciente a [a,b] f(x) ≠ n, f(x) < n. Sea g una función auxiliar: g(x)=1/(n – f(x)). Siguiendo este planteamiento, g es continua en [a,b] por ser diferencia y cociente de funciones continuas y n – f(x) ≠ 0. Por el lema de Weierstrass, g está acotada, es decir, para todo x perteneciente a [a,b]:

  • s <= g(x) <= t
  • 1/(n – f(x)) <= t
  • 1/t <= n – f(x)
  • f(x) <= n – 1/t
  • n – 1/t es una cota superior de f en [a,b]
  • Por otro lado g(x) > 0 => t > 0 => 1/t > 0 => n – 1/t < n

Creación de videojuegos desde cero

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