Variables aleatorias
Las variables aleatorias hacen parte del análisis y control mediante diferentes datos estadísticos arrojados por la recolección de información.
facultad de informática · telecomunicaciones
vie. 18 de mar. 2022
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En este artículo se estudiará el estudio de las probabilidades, relacionadas con conceptos de variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Un experimento aleatorio es un experimento en el que no es posible predecir el resultado, pero sí es posible observar un patrón en los resultados cuando este se repite muchas veces. Ahora, en un experimento aleatorio donde se observan los resultados y se realizan mediciones de los mismos, estas mediciones de valor numérico dan lugar a las variables aleatorias.

No se puede predecir el valor de las variables aleatorias, sin embargo, se puede conocer mediante las mediciones, el comportamiento aproximado de estas variables. Una variable aleatoria real es una función que asigna un número real a cada resultado de un experimento aleatorio determinado, se representan con letra mayúscula. En la mayoría de los experimentos aleatorios hay más de una variable aleatoria. La notación “w” representa, en la variable aleatoria, la dependencia del azar, muchas veces no se representa, pero siempre está implícita.

Una variable aleatoria se puede definir, también, como un medio para describir los resultados (puntos muestrales) del espacio muestral mediante números. Recordar del tema anterior que el espacio muestral es el conjunto de todos los posibles eventos o sucesos (resultados) que puedan ocurrir en un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Las variables aleatorias continuas son aquellas que no pueden numerarse y que toman un número de valores infinitos imposibles de numerar. En este tema se estudiarán las variables aleatorias discretas que son aquellas que pueden numerarse, ya que toman un número de valores finitos o infinito numerable.

Distribuciones de probabilidad

Se denomina distribución de probabilidad al conjunto de probabilidades que se le asigna a cada posible valor de una variable aleatoria. Es decir, conocido un experimento aleatorio y determinados los posibles valores de la variable aleatoria, se le asigna luego una probabilidad a cada valor de la variable aleatoria y a esto se le conoce como distribución de probabilidad.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria facilita una descripción completa del comportamiento aleatorio de la variable, pues determina qué valores puede tomar la variable aleatoria y qué probabilidad tiene cada valor posible de la variable aleatoria. La descripción que facilita la distribución de probabilidad es de una función, ya sea una función de probabilidad, una función de densidad o una función de distribución. Una distribución de probabilidad tiene las siguientes características:

  • Xi: representa el valor de la variable aleatoria
  • P(Xi): probabilidad asociada al valor de la variable aleatoria.
  • El valor de la probabilidad asociada al valor de la variable aleatoria debe cumplir que: 0≤P(Xi)≤1
  • La sumatoria de todas las probabilidades asociadas a los valores de las variables aleatorias es equivalente a 1: ∑P(Xi) = 1

En una distribución de probabilidad, el soporte es el conjunto de valores que puede tomar una variable aleatoria. Dada una variable aleatoria X, el soporte se denota como SX. En dependencia del soporte de la distribución de probabilidad, esta se clasifica en distribución discreta, distribución continua o distribución mixta. Variables aleatorias con distribución discreta:

  • Tienen soporte numerable.
  • Para ciertos valores Xi, P(Xi) es positiva. P(Xi)>0
  • Todas las distribuciones discretas se pueden describir mediante una función de probabilidad.

Variables aleatorias con distribución continua:

  • Tienen soporte no numerable.
  • Para todos los valores Xi, P(Xi)=0
  • Todas las distribuciones continuas se pueden describir mediante una función de densidad.

Ejemplo de representación de una distribución discreta

Se lanzan a la vez dos monedas y se cuenta el número de caras.

  1. Primeramente, se definen los posibles eventos (sucesos) CA: que salga cara CR: que salga cruz
  2. Se define el espacio muestral Posibles resultados que componen en espacio muestral:
    • Que ambos resultados sean cara.
    • Que la primera moneda muestre cara y la otra cruz.
    • Que la primera moneda muestre cruz y la otra cara.
    • Que ambos resultados sean cruz. {(CA,CA);(CA,CR);(CR,CA);(CR,CR)}
  3. Si la variable aleatoria X es contar el número de caras al lanzar las dos monedas a la vez, los posibles valores de X son:
    • X = 0 (que no salga ninguna cara) P(X = 0) = = 0,25
    • X = 1 (que salga una cara) P(X = 0) = = = 0,5
    • X = 2 (que salgan las dos caras) P(X = 0) = = 0,25

Como puede comprobarse la suma de los valores de las probabilidades es 1 (0,25+0,5+0,25=1) y, también, se cumple que cada probabilidad tiene un valor entre cero y uno, por tanto, se comprueba que es una distribución de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que X<2? P(X<2)=?.

Los valores en los que X es menor que dos son: X=0 y X=1, en consecuencia: P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) P(X<2)=0,25+0,5 P(X<2)=0,75 Por otro lado, la representación gráfica de una distribución continua es mediante una gráfica de barras. En la gráfica de barras, el “eje x” representa el valor de la variable aleatoria y el “eje y” representa el valor de la probabilidad, de manera que cada barra tiene una altura equivalente al valor de la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria.

Momentos de una variable aleatoria

Los momentos de una variable aleatoria son la media o la varianza de la variable aleatoria, específicamente, la media de la variable aleatoria se conoce como el momento 1 y la varianza se conoce como el momento 2.

Media

La media es una medida de la localización central de la variable aleatoria. A la media se le denomina también “valor esperado”. La media o valor esperado se denota como 𝜇 y se calcula así: μ = E(X) = ∑ Xi P(Xi).

Varianza y desviación estándar

Tanto la varianza como la desviación estándar de una variable aleatoria miden la variabilidad de la variable aleatoria. A esta variabilidad de le denomina también dispersión. La varianza se denota como σ2 e indica cuán alejados están los valores de la media. La varianza se calcula de la siguiente manera: σ2 = Var(X) = ∑ P (Xi)(Xi-μ)2 Para calcular la desviación estándar σ, se determina la raíz cuadrada de la varianza. σ = √(σ2 )

Principales distribuciones

Los científicos se han preocupado por representar el comportamiento de los fenómenos aleatorios que se presentan en la vida real, por lo que han construido modelos de distribuciones de probabilidad con ese fin. Existen varias distribuciones de probabilidad, la distribución uniforme discreta, la distribución binomial, la distribución hipergeométrica, la geométrica, binomial negativa, de Pascal y de Poisson. En este apartado se estudiará la distribución uniforme discreta y la distribución binomial, el resto de las distribuciones se recomiendan como lecturas complementarias.

Distribución uniforme discreta

La distribución uniforme discreta describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar “n” valores diferentes y cada uno de estos valores tiene la misma probabilidad. La distribución uniforme discreta tiene un caso particular en el cual los valores de la variable discreta son valores enteros consecutivos y entre los límites inferior y superior que definen el recorrido de la variable, los valores enteros tienen igual probabilidad.

Este caso particular se entiende mejor ejemplificándolo: una distribución uniforme discreta, cuyo recorrido de la variable discreta se define por los límites “x” y “y”, es decir, la variable puede tomar valores enteros entre “x” y “y” empezando por “x”, “x+1”, “x+2” hasta el valor máximo “y”, cada uno de estos valores consecutivos enteros tienen la misma probabilidad.

Creación y generación de redes

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