Teoría de la Probabilidad

La teoría de la probabilidad permite generar hipótesis con base en resultados previos para así poder tomar acciones con anticipación.

facultad de informática · telecomunicaciones
viernes, 29 de julio de 2022
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La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que se ocupa de determinar la posibilidad de que un suceso produzca un resultado determinado, esta medida de la posibilidad se realiza de una manera cuantitativa. La teoría de la probabilidad se emplea ampliamente en diversas ramas de la ciencia, en estadística, física, matemática, incluso en la filosofía. En las telecomunicaciones la teoría de la probabilidad se aplica en la criptografía, en la teoría de las señales, en redes de comunicaciones, entre otras ramas.

Pero no solo para las telecomunicaciones, estudiar y comprender la teoría de la probabilidad es muy importante en cualquier rama de la vida, puesto que constituye la base necesaria en la toma de decisiones. Blaise Pascal y Pierre Fermat fueron los primeros que, desde un enfoque matemático, estudiaron la probabilidad aplicándola a los juegos de azar, en el siglo XVII. Blaise Pascal (1623-1662) fue un polímata francés con numerosos conocimientos de matemática, física, filosofía, entre otras, con grandes contribuciones en todas estas ramas, destacándose sus aportes a la teoría de la probabilidad.

Pierre Fermat (1601-1665) fue un matemático y jurista francés, considerado como uno de los mejores matemáticos del siglo XVII. El integrante de la alta sociedad y experto jugador Antoine Gombaud, Caballero de Méré tenía algunas dudas acerca de los juegos al azar y se los planteó a Blaise Pascal. Blaise Pascal y Pierre Fermat comentaron mediante correspondencia escrita las dudas y planteamientos de Antoine Gombaud, mediante los intercambios lograron darle solución a los planteamientos de Gombaud. Las soluciones a los problemas del azar que quedaron plasmadas en esta correspondencia se conocen como los primeros pasos en la teoría de las probabilidades.

Concepto de probabilidad. Espacio de probabilidad

Como se mencionó previamente, la teoría de la probabilidad se ocupa de determinar la posibilidad de que un suceso produzca un resultado determinado; esta medida de la posibilidad se realiza de una manera cuantitativa. La teoría de la probabilidad facilita información precisa acerca de los resultados obtenidos. Esto en un gran número de experimentos, aunque no es capaz de predecir el resultado de un experimento específico. Un experimento en el que no es posible predecir el resultado, pero sí es posible observar un patrón en los resultados. Esto cuando este se repite muchas veces es un experimento aleatorio.

Un ejemplo de experimento aleatorio es el lanzamiento de una moneda. Previamente a lazarla no es posible predecir el resultado, pero sí es posible observar luego de muchos lanzamientos de la moneda, la cantidad de veces que sale una de sus caras. Luego de esta observación es posible determinar la probabilidad de que salga una de las caras. La probabilidad de que salga cruz es aproximadamente del 50 % o de 1/2. A cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le puede denominar suceso resultante, de acuerdo a esto se define el concepto de la probabilidad de un suceso: la probabilidad de un suceso en un experimento aleatorio es la proporción de apariciones del suceso en muchas repeticiones del experimento, estas repeticiones son independientes entre sí.

Definiendo un suceso como “X”, la probabilidad de ocurrencia de dicho suceso se denota como P(X), donde P(X) es mayor que 0 y menor que 1, P(X) puede expresarse también como un valor porcentual o como una fracción. Por ejemplo, si el experimento aleatorio es lanzar una moneda y el suceso X es que salga la “cruz”, P(X) es la probabilidad de que salga cruz.

Propiedades básicas de las probabilidades

Antes se mencionó que el valor de una probabilidad no puede ser negativo y mayor que 1, tiene valores entre 0 y 1 incluyendo estos. Esta es la primera propiedad de las probabilidades y se expresa como; Primera propiedad: La probabilidad de que un suceso X ocurra es un número que cumple que; 0≤P(X)≤1. Segunda propiedad La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible o nulo (Ø) es siempre cero; P(Ø)=0 Tercera propiedad La suma de las probabilidades de todos los posibles resultados es siempre de valor 1. Esto es lo mismo que decir que la probabilidad de un suceso seguro es siempre 1, recordar que el suceso seguro contiene todos los posibles resultados.

Probabilidad condicional y sucesos independientes

Dos sucesos o eventos son independientes si la ocurrencia de un suceso no influye en la probabilidad de ocurrencia del otro suceso. En tal caso, dos sucesos son independientes si se cumple que; P(X∩Y) = P(X)P(Y) Si la propiedad de independencia de sucesos no se cumple, los sucesos o eventos son dependientes y la ocurrencia de uno de ellos influye en la probabilidad de ocurrencia del otro.

La probabilidad condicional define el hecho de que la ocurrencia de un suceso o evento influye en que otro suceso se presente. Por ende, la probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso X ocurra, puesto que ya se ocurrió el suceso Y. La probabilidad condicional de que ocurra X dado que ocurrió Y, se calcula así: P(X│Y) = P(Y) > 0 La ley de la multiplicación se deduce de la probabilidad condicional. Si se despeja la probabilidad de intersección de X y Y de la ecuación anterior, se obtiene: P(X∩Y) = P(X│Y)P(Y).

Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes

El teorema de Bayes debe su nombre a Thomas Bayes (1702-1761), de origen británico. Thomas Bayes fue matemático, filósofo, estadístico y teólogo protestante, su principal labor se centraba en demostrar la existencia de dios. Su obra más conocida y que significó un gran aporte a la teoría de la probabilidad es el conocido como teorema de Bayes. Este teorema se emplea en el cálculo de la probabilidad de una causa, habiéndose observado ya el efecto, dicho de otro modo, se emplea para calcular la probabilidad condicional a posteriori. Esta fórmula a pesar de parecer compleja, se entenderá mejor en un ejemplo más adelante. Los términos de la ecuación se describen así:

  • Bj: es la causa j
  • A: es el efecto
  • Bi: es la causa i
  • i = 1,2,3,…,n
  • La suma de las probabilidades asociadas a las causas es 1, ∑P(Bi) =1
  • Las causas Bi son sucesos disjuntos (mutuamente excluyentes).
  • El denominador de teorema de Bayes es conocido como es conocido como probabilidad total.

La creación y estudio de redes

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